สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ระบบสมการเชิงเส้น (system of linear equations)       สมการเชิงเส้น(Linear  equation)  หมายถึง  สมการใด ๆ ที่มีตัวแปร 1 ตัว หรือ 2 ตัว หรือ 3 ตัว แต่กำลังของตัวแปรนั้น ๆ ต้องเป็น 1 เสมอ เช่น  aX + bY + cZ = d

1. สมการเชิงเส้นสองตัวแปร (Linear equation with two variable)

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ สมการที่อยู่ในรูปทั่วไป คือ Ax + By + C = 0 เมื่อ A , B , C เป็นค่าคงที่ A, B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ x , y เป็นตัวแปร

ข้อสังเกต    1. สมการเชิงเส้นสองตัวแปร เป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัวเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็น 1 และไม่มีการคูณกันของตัวแปร            

2. คำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ที่มี x และ y เป็นตัวแปรได้แก่ค่าของ x และ y ที่ทำให้สมการเป็นจริง นิยมเขียนในรูปคู่อันดับ ( x , y ) เช่น (4,8)  จะได้ว่า x = 4 , y = 8

2. กราฟสมการเชิงเส้นสองตัวแปรกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ กราฟของคำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งเกิดจากการนำคำตอบไปเขียนกราฟจากรูปทั่วไปของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ                          Ax + By + C = 0        จะได้                                  By = – Ax – C

                                             y = (-A/B)x-C/B

ให้ a = -A/B และ b = -C/B ปรับรูปสมการใหม่ จะได้ y = ax + b เมื่อ a , b เป็นค่าคงตัว x , y เป็นตัวแปร ( a คือ ความชัน , b เป็นตำแหน่งที่กราฟตัดแกน Y ที่จุด (0, b) )สมการในรูป y = ax + b เรียกว่า รูปมาตรฐานของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดย a เรียกว่าความชันของเส้นตรง ซึ่งค่าของ a และ b จะทำให้ทราบลักษณะกราฟดังนี้คือ     1. ค่าของ a บอกให้ทราบว่ากราฟทำมุมอย่างไรกับแกน x ดังนี้                     a > 0 กราฟจะทำมุมแหลมกับแกน x                     a < 0 กราฟจะทำมุมป้านกับแกน x                     a = 0 กราฟจะขนานกับแกน x      2. ค่าของ b จะบอกให้ทราบว่ากราฟตัดแกน y ที่จุดใด โดยกราฟจะตัดแกน y ที่ ( 0 , b)      3. ถ้าสมการใด ๆ ที่มีค่า a เท่ากัน จะได้กราฟที่ขนานกัน      4. ถ้าสมการใด ๆ ที่มีค่า a คูณกันได้ –1 จะได้กราฟ 2 เส้นตั้งฉากกัน     

5. เนื่องจากกราฟของสมการ y = ax + b เป็นเส้นตรง ดังนั้นในการเขียนกราฟของสมการดังกล่าวจึงสามารถทำได้โดยการหาจุดเพียง 2 จุด ที่แทน (x, y) แล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง

3. ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (system of linear equation with two variable)ให้ a, b , c , d , e และ f เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่ a , b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกันและ c, d ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียก         ax + by = e                                 cx + dy = f      ว่าระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คำตอบของระบบสมการเชิงเส้น คือ ค่าของ x และ y ที่ทำให้ระบบสมการนั้นเป็นจริง ซึ่งอาจมีค่าเดียว มีหลายค่า หรือไม่มีคำตอบก็ได้การแก้ระบบสมการเชิงเส้นมีวิธีการ 3 วิธี คือ       1. โดยการใช้กราฟ       2. โดยการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง      

3. โดยการแทนค่าตัวแปรตัวหนึ่งในรูปตัวแปรตัวหนึ่ง

1. การแก้ระบบสมการโดยใช้กราฟ     การแก้ระบบสมการโดยใช้กราฟ คือ การเขียนกราฟเส้นตรงจากระบบสมการที่กำหนดให้คำตอบของระบบสมการคือ จุดตัดของกราฟทั้งสองที่ได้ คือ (x , y) ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการ     ถ้าในกรณีที่กราฟทั้งสองเส้นขนานกัน แสดงว่าระบบสมการนั้นไม่มีคำตอบ และถ้ากราฟที่ได้ทั้งสองเส้นทับกันแสดงว่าระบบสมการนั้นมีคำตอบหลายคำตอบ2. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีนี้จะใช้การบวกหรือการลบ ดังนี้1. ใช้สมบัติการบวก ถ้า a , b ,c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่                           a = b                …………….…….. ❶                           c = d                ……………………❷❶ + ❷      a + c = b + d2. ใช้สมบัติการลบ ถ้า a , b ,c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่                           a = b                …………….…….. ❶                           c = d                ……………………❷❶ – ❷      a – c = b – dและการจะเลือกใช้สมบัติการบวกหรือการลบ ให้พิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการ ต่อไปนี้   1. ถ้าต้องการกำจัดตัวแปรใด ให้ใช้สมบัติการคูณ ทำสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ต้องการกำจัดนั้นให้เท่ากัน หรือให้เป็นจำนวนตรงข้ามกัน   2. ถ้าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ต้องการกำจัด เท่ากัน ให้ใช้สมบัติการลบ จะทำให้ตัวแปรนั้นหายไป   3. ถ้าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่ต้องการกำจัดเป็นจำนวนตรงข้ามกัน ให้ใช้สมบัติการบวก จะทำให้ตัวแปรนั้นหายไป   4. แก้สมการหาค่าตัวแปรที่เหลือ  

5. นำค่าของตัวแปรที่ได้ในข้อ 4 แทนค่าในสมการที่โจทย์กำหนดสมการใดสมการหนึ่ง จะได้ค่าของตัวแปรที่เหลือ

3. การแก้ระบบสมการโดยการแทนค่า    การแก้ระบบสมการโดยการแทนค่า ใช้วิธีการแทนค่าตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจากสมการหนึ่ง ในสมการอีกอีกตัวหนึ่ง4. โจทย์สมการเชิงเส้นสองตัวแปรขั้นตอนในการแก้โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นสองตัวแปร   1. สมมติตัวแปรสองชนิด แทนสิ่งที่โจทย์ถาม   2. พิจารณาว่าตัวแปรที่สมมติเกี่ยวข้องหรือสัมพันธ์กับโจทย์หรือตัวเลขอื่น ๆ ในโจทย์อย่างไร   3. เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ตามเงื่อนไขของโจทย์  

4. แก้ระบบสมการโดยอาศัยการแก้ระบบสมการหรือตามแต่วิธีที่สะดวก

ข้อควรทราบของผสม   N1V1 + N2V2 + N3V3 + … + NnVn = NรวมVรวม ; N = ความเข้มข้น, V = ปริมาตร