5.   ลำดับเรขาคณิต  [Geometric Sequence Geometric Progression] ตัวย่อ G.S.  หรือ  G.P.

นิยาม     ลำดับเรขาคณิต  คือ  ลำดับที่มีอัตราส่วนร่วม [Common ratio ตัวย่อ r] ระหว่างพจน์ที่ n+1 [an+1] กับพจน์ที่ n [an]
                มีค่าคงที่                 สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก
n  

กล่องข้อความ:  an                นั้นคือ                r   =   an+1                    , r ¹ 0, n ÎI+

รูปทั่วไปของลำดับเรขาคณิต    คือ       a1 ,  a2 ,  a3 ,  ... ,  a1rn-1 ,  ...
พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต  คือ     an  =  a1rn-1

 

เช่น          1)            1 ,  3 ,  32 , ... , 3n-1 ,  ...

 

 

ตัวอย่าง 1              จงหาพจน์ที่ 6 ของลำดับเรขาคณิต  1 ,  2 ,  4 ,  8 ,  ...
วิธีทำ                      จากโจทย์               a1  =  1   ,    r  = 
                                เพราะว่า                                an             =            a1rn - 1
                                                                a6            =             (1)(2)6 - 1    =    32

 

 

ตัวอย่าง 2              ลำดับเรขาคณิตมี a1 =  และ a4 =  จงหา r
วิธีทำ                      an            =             a1rn - 1
                                               
a4            =             a1r3
                                  

 

ตัวอย่าง 3              ลำดับเรขาคณิตมี a3 = 12, r = -2 และ an = 768 จงหา n
วิธีทำ                                      an            =             a1rn - 1
                                                768         =             a1(-2)n - 1                                 ..........(1)
                                                a3            =             a1r2
                                                12           =             a1(-2)2
                                                a1            =             3
แทนค่า a1 = 3 ใน (1)            768         =             3(-2)n - 1
                                                256         =             (-2)n - 1
                                                (-2)8         =             (-2)n - 1
                                                n-1          =             8
                                                n              =             9

 

ตัวอย่าง 4              กำหนดลำดับเรขาคณิตซึ่งมีพจน์ที่ 4 เท่ากับ -24 และพจน์ที่ 9 เท่ากับ 768 จงหาพจน์ที่ n
วิธีทำ                      a4  =  -24               
®          a1r3          =             -24                                          ..........(1)
                                a9  =  768              
®          a1r8          =             768                                         ..........(2)
(2)
¸(1)                                                                    r5           =             -32          =             (-2)5
                                                                                  r             =              -2
แทนค่า r = -2 ใน  (1)                                              a1          =             3

เพราะฉะนั้น                                                             an          =             3(-2)n – 1

 

ตัวอย่าง 5              ลำดับเรขาคณิต (a1)(a2)(a3)  =  64 และ a1 = 12  จงหาลำดับเรขาคณิตนี้
วิธีทำ                      (a1)(a2)(a3
)             =             64
                                (a1)(a1r)(a1r2)         =             64
                                (a1)3( r3)                  =             64
                                (a1r)3                       =             (4)3
                                a1r                           =             4
                                (12)r                       =             4
                                r                               =            
                                เพราะฉะนั้น           ลำดับเรขาคณิต  คือ  12 ,  4 ,  , ... 

 

ตัวอย่าง 6              ในปี พ.. 2518 ประชากรในจังหวัดหนึ่งมี 60,000 คน  ถ้าประชากรในเมืองนี้เพิ่มขึ้น 4% ในแต่ละปีโดย
                                เพิ่มจากประชากรของปีนั้นๆ จงหาจำนวนประชากรในปี พ
.. 2524
วิธีทำ                      เพราะว่า  ปี พ.. 2518  มีประชากร    60,000                                      คน
                                ปี พ.. 2519  มีประชากร                                             คน
                                ...........................................     .............                                                         ......

                                ปี พ.. 2520 มีประชากร         คน
                                จำนวนประชากรของแต่ละปีเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต คือ 
                               
                                นั้นคือ        a1 = 60,000,   r =     ,   n = 7   [เพราะว่านับจากปี 2518 ถึงปี 2524 เป็นเวลา 7 ปี]
                                ดังนั้น        ปี 2524 เมืองนี้มีประชากร  คน

ข้อสังเกต                                โดยปกติ : พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตจำกัดในรูปของ a1 และ r    คือ
                               
a1 ,  a1r ,  a1r2 ,  … ,  a1rn - 1
                1.             ในกรณีที่ทราบว่า  ลำดับเรขาคณิตจำกัดชุดหนึ่งมีจำนวนพจน์เป็นเลขคี่ควรจะสมมติพจน์ทั่วไปดังนี้คือ
                                                ... ,  a ,   a ,  a ,  ar ,  ar2 ,  …

                                [ โดยเริ่มจากตรงกลางคือ a แล้วขยายไปทั้งด้านซ้ายและด้านขวาที่ละ r ]

                        ตัวอย่าง   ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่งมี 5 พจน์และผลคูณของทุกพจน์เท่ากับ 32 ถ้าอัตราส่วนร่วมมีค่าเท่ากับ 3
                                จงหาลำดับชุดนี้

                วิธีทำ       สมมติลำดับนี้คือ               

                                จะได้ว่า                                       =             32
                                                                                                      a5                      =             32
                                                                                   \              a                        =             2
                                ดังนั้น      เมื่อ a = 2               ลำดับชุดนี้ คือ   
                                                                                หรือ                     
                2.             ในกรณีที่ทราบว่า  ลำดับเรขาคณิตจำกัดชุดหนึ่งมีจำนวนพจน์เป็นเลขคู่ควรจะสมมติพจน์ทั่วไปดังนี้คือ
                                                ... ,  a ,   a ,  ar ,  ar3 ,  …
 

พจน์กลางเรขาคณิตหนึ่งพจน์ระหว่าง a และ b [Geometric Mean] ตัวย่อ G.M.

                        G.M.   =   ±Öab
หรือ                   G2      =   ab

 

ตัวอย่าง 7              จงหา G.M. 1 พจน์ระหว่าง 8 และ 18
วิธีทำ                      จากสูตร                 G2           =             ab
                                                                                =             (8)(18)                    =             144
                                                                G             =            

                                                                G             =            
±12

 

ตัวอย่าง 8              จงหาพจน์กลางเรขาคณิต 4 พจน์ระหว่าง 3 และ 96
วิธีทำ                      a1 = 3 , a6 = 96
                                a6            =             a1r5
                                96           =             (3)r5
                                r5             =             32           =             (2)5
                                r               =             2
                                เพราะฉะนั้น           พจน์กลาง 4 พจน์ระหว่าง 3 และ 96  คือ 6 , 12 , 24 , 48

 

ตัวอย่าง 9              จงหา G.M. 3 พจน์ระหว่าง  และ

วิธีทำ                      a1 =   และ a5 =
                                a5            =             a1r4
                               
                                เพราะฉะนั้น   พจน์กลาง 3 พจน์เมื่อ    r =     คือ          
                                                                                                r = -   คือ           

 

ตัวอย่าง 10            จงหาจำนวนจริงบวก 2 จำนวน ซึ่ง A.M. 1 พจน์เท่ากับ 25 และ G.M. 1 พจน์เท่ากับ 24
วิธีทำ                      ให้เลข 2 จำนวนนั้น คือ a และ b
                               

จาก (1)                   a         =   50 - b
แทน a = 50 - b ใน (2)          ( 50 - b )( b )         =             576
                                                b2 - 50b + 576     =             0
                                                ( b - 18 )( b - 32 )                 =             0
                                                                b             =             18 , 32
                                                                a              =             32 , 18
                                                เพราะฉะนั้น           เลข 2 จำนวนนั้น  คือ  32 กับ 18

ความสัมพันธ์ระหว่าง A.M, H.M. และ G.M. 1 พจน์

                   G2   =   A.M. x H.M.

 

ตัวอย่าง 11            ถ้า A.M. และ G.M. ระหว่างเลขสองจำนวนจริงบวกเป็น 5 และ 4 แล้ว H.M.1 พจน์ระหว่าง
                                เลขสองจำนวนนี้เป็นเท่าไร
วิธีทำ                      จากสูตร                 G2   =   A.M. x H.M.
                                                                42    =   5 x H.M.
                                                                H.M. =  

 

Back