8.2   อนุกรมอนันต์  [Infinite Series]
นิยาม   อนุกรมอนันต์ คือ อนุกรมที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัด    ;    a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
               
ถ้า           s1             =             a1
                                               
s2             =             a1 + a2
                                s3             =             a1 + a2 + a3

                                ...............................…………………..

                                sn             =             a1 + a2 + a3 + ... + an
แล้ว   s1 , s2 , s3 , ... , sn  แต่ละจำนวนเราเรียกว่า “ ผลบวกย่อย “ [ Partial Sum ]  ของอนุกรม  a1 + a2 + a3 + ... + an + ...  และ  เรียก  s1 , s2 , s3 , ... , sn ว่า “ ลำดับผลบวกย่อยของอนุกรม “
ถ้า           ลำดับผลบวกย่อยของอนุกรมมีลิมิต  [ lim Sn  =  L ]  แสดงว่า  อนุกรมนี้หาผลบวกได้
                ซึ่งผลบวกของอนุกรมอนันต์จะเท่ากับ  L  และเรียกอนุกรมนี้ว่า
“ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ “ 
ถ้า           ลำดับผลบวกย่อยของอนุกรมหาลิมิตไม่ได้  [ lim Sn  = 
¥ ]  แสดงว่า  อนุกรมนี้หาผลบวกไม่ได้ 
                 เราเรียกอนุกรมแบบนี้ว่า
“ อนุกรมไดเวอร์เจนต์ “

ข้อสังเกต                 ผลบวกอนันต์ของอนุกรม  ก็คือ  ลิมิตของลำดับผลบวกย่อยของอนุกรมนั้นเอง

 

8.2.1   การหาผลบวกอนันต์ของอนุกรมเรขาคณิต

S :   a1 + a1r + a1r2 + ... + a1rn-1 + ...

ผลบวกอนันต์ของอนุกรม S คือ   
จาก        

กล่องข้อความ: [เพราะว่า   เป็นค่าคงที่]               

พิจารณา  :       
                       ถ้า  | r | > 1  แล้ว    หาค่าไม่ได้
                       ถ้า  | r | < 1  แล้ว   =  0                    [ เพราะว่า r
¹ 0 ]
เพราะฉะนั้น           อนุกรมเรขาคณิตจะหาผลบวกอนันต์ได้ในกรณี  | r | < 1 โดย
                               
นั้นคือ                      อนุกรมเรขาสามารถหาผลบวกอนันต์ได้เมื่อ | r | < 1  ซึ่ง
S    =    a1

 

 

 

 

 

ตัวอย่าง 1              จงหาผลบวกอนันต์ของอนุกรม 
                                เพราะว่า                อนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี a1 = 1, r =

                               

 

ตัวอย่าง 2              อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ เมื่อกำหนด    และ    จงหาอนุกรมนี้

                               

กล่องข้อความ: [  (1) ¸ (2)  ]                               
                                แทน     ใน  (2) ได้    ดังนั้น อนุกรม คือ 
                                แทน   ใน (2) ได้    ดังนั้น อนุกรม คือ 


ตัวอย่าง 3              ลูกบอลยางลูกหนึ่งถูกปล่อยลงมาจากที่สูง 90 เซนติเมตร  ลูกบอลเมื่อกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นสูง  ของ
                                ความสูงที่ตกลงมาทุกครั้ง  จงหาระยะทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่จนกว่ามันจะหยุดนิ่ง
วิธีทำ                      ให้  S  เป็นระยะทางที่ลูกบอลตกลงมาและกระดอนขึ้นไปจนกว่าจะหยุด

                               

 

ตัวอย่าง 4              เหมืองทองคำแห่งหนึ่งขุดทองคำได้น้อยลงร้อยละ 13 ของปีก่อน ๆ  ถ้าในปีแรกขุดทองได้เ็นมูลค่า 26 ล้าน
                                บาท  จงหามูลค่าทองคำที่ขุดได้ตลอดกาล
วิธีทำ                      ปีแรกขุดทองคำได้มูลค่า                       26                                           ล้านบาท
                                ปีที่ 2 ขุดทองคำได้มูลค่า                                                       ล้านบาท
                                ปีที่ 3 ขุดทองคำได้มูลค่า                                           ล้านบาท
เพราะฉะนั้น           มูลค่าทองคำที่ขุดได้ตลอดกาลคือ               
                               
                                                ล้านบาท

 

กล่องข้อความ: [เพราะว่า เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี    ] ตัวอย่าง 5              จงเขียนทศนิยมต่อไปนี้ให้เป็นเศษส่วน 
                               

ตัวอย่าง 6              อนุกรม   1+3+5+ ... + (2n-1)+ ...   เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ หรือ ไดเวอร์เจนต์
วิธีทำ      เพราะว่า                อนุกรม    1+3+5+ ... + (2n-1)+ ...    เป็นอนุกรมเลขคณิต
                มี                             a1 = 1  และ  d = 2

               
                ดังนั้น  อนุกรม  1+3+5+ ... + (2n-1)+ ...  เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์

 

Back