ลำดับและอนุกรม 
[Sequence & series]

 

นิยาม    ลำดับ  คือ  ฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

            ถ้าโดเมนมีจำนวนจำกัด  คือ  1, 2, 3, …, n เรียกว่า ลำดับจำกัด [Finite sequence]

            ถ้าโดเมนมีจำนวนไม่จำกัด  คือ  1, 2, 3… n, … เรียกว่า ลำดับอนันต์ [Infinite sequence]

 

ข้อสังเกต                                1.   ลำดับในเซต X                                 คือ ลำดับที่มีเรนจ์เป็นสับเซตของ X

                                2.   ลำดับในที่นี้เป็นลำดับในเซต R      นั้นคือ เรนจ์ของลำดับเป็นสับเซตของจำนวนจริง

 

กล่องข้อความ: ลำดับอนันต์ตัวอย่างของลำดับ              1)            f    =    { (1,1) , (2, 4) , (3, 9) ,  ...  , (n, n2) , ... }
                                                2)            g   =   { (x , y)
| y  =  x + 1   , xÎI+ }

                                                3)            h   =   {(n, h (n)) | h (n) = 2n   , nÎI+}

                                                4)            I   =   {(n, an) | an =    , nÎI+}

กล่องข้อความ: ลำดับจำกัด                                                5)            1, 4, 9, ..., n2
                                                6)            7, 11, 15, ... , (4n+3)
                                                7)           

 

ถ้า  f  เป็นลำดับ  นิยมเขียนลำดับดังนี้
                      f(1)    ,     f(2)    ,     f(3)     ,   ...   ,   f(n)     , ...

หรือ                a1      ,      a2      ,      a3       ,   ...   ,    an      , ...                

 

                  พจน์ที่ 1   พจน์ที่ 2    พจน์ที่ 3  .......... พจน์ที่ n, ...

 

เช่น          f    =   { (1, 1) , (2, 4) , (3, 9) ,  ...  , (n, n2) , ... }   เขียนแทนลำดับ f ได้ว่า     1 , 4 , 9 , ... , n2, ...
                h   =   { (n , h(n))
| h(n)  =  2n   , nÎI+ }                   เขียนแทนลำดับ h ได้ว่า     2 , 4 , 6 , ... , 2n , ...

 

นั้นคือ      การเขียนลำดับจะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป

 

1.   การหาลำดับหรือพจน์ต่างๆของลำดับเมื่อกำหนดพจน์ที่ n [an]

ตัวอย่าง 1              กำหนด      an         =             2n+1
                               
\             a1          =             2(1) +1 = 3
                                                  a2          =             2(2) +1 = 5
                                                  a3          =             2(3) +1 = 7

ดังนั้น      ลำดับนี้คือ   3 , 5 , 7 , ... , 2n+1 , ...

 

 

 

 

 

 

ตัวอย่าง 2              กำหนด   f = {(x, y) |  , x Î I+}

                                \      y   =    f(x)         =           

                                                      

ดังนั้น 4 พจน์แรกของลำดับนี้ คือ  

 

2.   การเขียนพจน์ที่ n เมื่อกำหนด 3 พจน์แรกของลำดับมาให้

ตัวอย่าง 1              กำหนดลำดับ 

วิธีทำ                     
                               

 

ตัวอย่าง 2              กำหนดลำดับ 

วิธีทำ                     

                               

Back